선형 대수 예제

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 1

고유값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

특성방정식 $p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

$p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{3})$

단계 1.2

크기가 $3$ 인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 $3 \times 3$ 정방행렬입니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 1.3

알고 있는 값을 $p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{3})$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$A$ 에 $[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] - λ I_{3})$

단계 1.3.2

$I_{3}$ 에 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

행렬의 각 원소에 $- λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.2.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.2.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.3.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.3.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.4.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.4.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.6.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.6.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.7.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.7.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.8.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.8.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

단계 1.4.2

해당하는 원소를 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & 1 \\ - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.3

$- 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & 1 \\ - 3 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.4

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & 1 \\ - 3 & 1 - λ & 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.5

$- 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & 1 \\ - 3 & 1 - λ & 0 \\ - 3 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.6

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & 1 \\ - 3 & 1 - λ & 0 \\ - 3 & 0 & 1 - λ \end{array}]$

단계 1.5

Find the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

단계 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

단계 1.5.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

단계 1.5.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

단계 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

단계 1.5.2

$0$ 에 $| \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

단계 1.5.3

$0$ 에 $| \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} | + 0$

단계 1.5.4

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) ((5 - λ) (1 - λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

단계 1.5.4.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(5 - λ) (1 - λ)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 (1 - λ) - λ (1 - λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

단계 1.5.4.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 \cdot 1 + 5 (- λ) - λ (1 - λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

단계 1.5.4.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 \cdot 1 + 5 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.2.1.1

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 + 5 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.2

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 5 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 5 λ - λ - λ (- λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 5 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 3 \cdot 1)) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.5

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.2.1.5.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 5 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.5.2

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 5 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 1)) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 5 λ - λ + 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 1)) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 5 λ - λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 1)) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.2

$- 5 λ$ 에서 $λ$ 을 뺍니다.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 6 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 1)) + 0$

단계 1.5.4.2.1.3

$- (- 3 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.3.1

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 6 λ + λ^{2} - - 3) + 0$

단계 1.5.4.2.1.3.2

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 6 λ + λ^{2} + 3) + 0$

단계 1.5.4.2.2

$5$ 를 $3$ 에 더합니다.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (- 6 λ + λ^{2} + 8) + 0$

단계 1.5.4.2.3

$- 6 λ$ 와 $λ^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) + 0$

단계 1.5.5

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1

$0 + (1 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) + 0$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1.1

$0$ 를 $(1 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8)$ 에 더합니다.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) + 0$

단계 1.5.5.1.2

$(1 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8)$

단계 1.5.5.2

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(1 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8)$ 를 전개합니다.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 6 λ) + 1 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

단계 1.5.5.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.3.1

$λ^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 6 λ) + 1 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

단계 1.5.5.3.2

$- 6 λ$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 1 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

단계 1.5.5.3.3

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

단계 1.5.5.3.4

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.3.4.1

$λ^{2}$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - (λ^{2} λ) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

단계 1.5.5.3.4.2

$λ^{2}$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.3.4.2.1

$λ$ 를 $1$ 승 합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

단계 1.5.5.3.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{2 + 1} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

단계 1.5.5.3.4.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{3} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

단계 1.5.5.3.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ \cdot λ - λ \cdot 8$

단계 1.5.5.3.6

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.3.6.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 (λ \cdot λ) - λ \cdot 8$

단계 1.5.5.3.6.2

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ^{2} - λ \cdot 8$

단계 1.5.5.3.7

$- 1$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{3} + 6 λ^{2} - λ \cdot 8$

단계 1.5.5.3.8

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{3} + 6 λ^{2} - 8 λ$

단계 1.5.5.4

$λ^{2}$ 를 $6 λ^{2}$ 에 더합니다.

$p (λ) = 7 λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{3} - 8 λ$

단계 1.5.5.5

$- 6 λ$ 에서 $8 λ$ 을 뺍니다.

$p (λ) = 7 λ^{2} - 14 λ + 8 - λ^{3}$

단계 1.5.5.6

$8$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = 7 λ^{2} - 14 λ - λ^{3} + 8$

단계 1.5.5.7

$- 14 λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = 7 λ^{2} - λ^{3} - 14 λ + 8$

단계 1.5.5.8

$7 λ^{2}$ 와 $- λ^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = - λ^{3} + 7 λ^{2} - 14 λ + 8$

단계 1.6

특성다항식이 $0$ 이 되도록 하여 고유값 $λ$ 를 구합니다.

$- λ^{3} + 7 λ^{2} - 14 λ + 8 = 0$

단계 1.7

$λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.1

항을 다시 묶습니다.

$- λ^{3} + 8 + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

단계 1.7.1.2

$- λ^{3} + 8$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.2.1

$- λ^{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (λ^{3}) + 8 + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

단계 1.7.1.2.2

$8$ 을 $- 1 (- 8)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (λ^{3}) - 1 \cdot - 8 + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

단계 1.7.1.2.3

$- (λ^{3}) - 1 (- 8)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (λ^{3} - 8) + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

단계 1.7.1.3

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$- (λ^{3} - 2^{3}) + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

단계 1.7.1.4

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = λ$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$- ((λ - 2) (λ^{2} + λ \cdot 2 + 2^{2})) + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

단계 1.7.1.5

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.5.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.5.1.1

$λ$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- ((λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 2^{2})) + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

단계 1.7.1.5.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- ((λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 4)) + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

단계 1.7.1.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- (λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

단계 1.7.1.6

$7 λ^{2} - 14 λ$ 에서 $7 λ$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.6.1

$7 λ^{2}$ 에서 $7 λ$ 를 인수분해합니다.

$- (λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 7 λ (λ) - 14 λ = 0$

단계 1.7.1.6.2

$- 14 λ$ 에서 $7 λ$ 를 인수분해합니다.

$- (λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 7 λ (λ) + 7 λ (- 2) = 0$

단계 1.7.1.6.3

$7 λ (λ) + 7 λ (- 2)$ 에서 $7 λ$ 를 인수분해합니다.

$- (λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 7 λ (λ - 2) = 0$

단계 1.7.1.7

$- (λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 7 λ (λ - 2)$ 에서 $λ - 2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.7.1

$- (λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 4)$ 에서 $λ - 2$ 를 인수분해합니다.

$(λ - 2) (- 1 (λ^{2} + 2 λ + 4)) + 7 λ (λ - 2) = 0$

단계 1.7.1.7.2

$7 λ (λ - 2)$ 에서 $λ - 2$ 를 인수분해합니다.

$(λ - 2) (- 1 (λ^{2} + 2 λ + 4)) + (λ - 2) (7 λ) = 0$

단계 1.7.1.7.3

$(λ - 2) (- 1 (λ^{2} + 2 λ + 4)) + (λ - 2) (7 λ)$ 에서 $λ - 2$ 를 인수분해합니다.

$(λ - 2) (- 1 (λ^{2} + 2 λ + 4) + 7 λ) = 0$

단계 1.7.1.8

분배 법칙을 적용합니다.

$(λ - 2) (- 1 λ^{2} - 1 (2 λ) - 1 \cdot 4 + 7 λ) = 0$

단계 1.7.1.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.9.1

$- 1 λ^{2}$ 을 $- λ^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(λ - 2) (- λ^{2} - 1 (2 λ) - 1 \cdot 4 + 7 λ) = 0$

단계 1.7.1.9.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(λ - 2) (- λ^{2} - 2 λ - 1 \cdot 4 + 7 λ) = 0$

단계 1.7.1.9.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$(λ - 2) (- λ^{2} - 2 λ - 4 + 7 λ) = 0$

단계 1.7.1.10

$- 2 λ$ 를 $7 λ$ 에 더합니다.

$(λ - 2) (- λ^{2} + 5 λ - 4) = 0$

단계 1.7.1.11

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.11.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.11.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ 이고 합이 $b = 5$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.11.1.1.1

$5 λ$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$(λ - 2) (- λ^{2} + 5 (λ) - 4) = 0$

단계 1.7.1.11.1.1.2

$5$ 를 $1$ + $4$ 로 다시 씁니다.

$(λ - 2) (- λ^{2} + (1 + 4) λ - 4) = 0$

단계 1.7.1.11.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(λ - 2) (- λ^{2} + 1 λ + 4 λ - 4) = 0$

단계 1.7.1.11.1.1.4

$λ$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(λ - 2) (- λ^{2} + λ + 4 λ - 4) = 0$

단계 1.7.1.11.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.11.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(λ - 2) ((- λ^{2} + λ) + 4 λ - 4) = 0$

단계 1.7.1.11.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(λ - 2) (λ (- λ + 1) - 4 (- λ + 1)) = 0$

단계 1.7.1.11.1.3

최대공약수 $- λ + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(λ - 2) ((- λ + 1) (λ - 4)) = 0$

단계 1.7.1.11.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(λ - 2) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$

단계 1.7.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$λ - 2 = 0$

$- λ + 1 = 0$

$λ - 4 = 0$

단계 1.7.3

$λ - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1

$λ - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$λ - 2 = 0$

단계 1.7.3.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$λ = 2$

단계 1.7.4

$- λ + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.1

$- λ + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- λ + 1 = 0$

단계 1.7.4.2

$- λ + 1 = 0$ 을 $λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- λ = - 1$

단계 1.7.4.2.2

$- λ = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.2.2.1

$- λ = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 1.7.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 1.7.4.2.2.2.2

$λ$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$λ = \frac{- 1}{- 1}$

단계 1.7.4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.2.2.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$λ = 1$

단계 1.7.5

$λ - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.5.1

$λ - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$λ - 4 = 0$

단계 1.7.5.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$λ = 4$

단계 1.7.6

$(λ - 2) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$λ = 2, 1, 4$

단계 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

단계 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

행렬의 각 원소에 $- 2$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.2

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.3

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.4

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.5

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.6

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.7

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.8

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.9

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

단계 3.2.2

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 5 - 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

단계 3.2.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

$5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

단계 3.2.3.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

단계 3.2.3.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ - 3 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

단계 3.2.3.4

$- 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

단계 3.2.3.5

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ - 3 & - 1 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

단계 3.2.3.6

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ - 3 & - 1 & 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

단계 3.2.3.7

$- 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ - 3 & - 1 & 0 \\ - 3 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

단계 3.2.3.8

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ - 3 & - 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 - 2 \end{array}]$

단계 3.2.3.9

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ - 3 & - 1 & 0 \\ - 3 & 0 & - 1 \end{array}]$

단계 3.3

Find the null space when $λ = 2$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 & 0 \\ - 3 & - 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{0}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} \\ - 3 & - 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ - 3 & - 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 1 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 (\frac{1}{3}) & 0 + 3 \cdot 0 \\ - 3 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & - 1 + 3 (\frac{1}{3}) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.3.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.4.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{3} z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

단계 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{3} \\ z \\ z \end{array}]$

단계 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

단계 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

단계 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

단계 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

해당하는 원소를 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 5 - 1 & 0 - 0 & 1 - 0 \\ - 3 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

단계 4.2.2

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$5$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 4 & 0 - 0 & 1 - 0 \\ - 3 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

단계 4.2.2.2

$0$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 - 0 \\ - 3 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

단계 4.2.2.3

$1$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ - 3 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

단계 4.2.2.4

$- 3$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

단계 4.2.2.5

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ - 3 & 0 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

단계 4.2.2.6

$0$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ - 3 & 0 & 0 \\ - 3 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

단계 4.2.2.7

$- 3$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ - 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

단계 4.2.2.8

$0$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ - 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 - 1 \end{array}]$

단계 4.2.2.9

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ - 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3

Find the null space when $λ = 1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{0}{4} & \frac{1}{4} & \frac{0}{4} \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 (\frac{1}{4}) & 0 + 3 \cdot 0 \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & 0 \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 (\frac{1}{4}) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.3.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{4}{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{4}{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{4}{3} \cdot 0 & \frac{4}{3} \cdot 0 & \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} & \frac{4}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.4.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{3}{4} R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{3}{4} R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{3}{4} \cdot 0 & 0 - \frac{3}{4} \cdot 0 & \frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 & 0 - \frac{3}{4} \cdot 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.5.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{4} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 & \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.6.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

단계 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ y \\ 0 \end{array}]$

단계 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

단계 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y \in R}$

단계 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

단계 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

행렬의 각 원소에 $- 4$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.2

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.3

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.4

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.5

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.6

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.7

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.8

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.9

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

단계 5.2.2

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 5 - 4 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - 4 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

단계 5.2.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$5$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - 4 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

단계 5.2.3.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - 4 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

단계 5.2.3.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ - 3 + 0 & 1 - 4 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

단계 5.2.3.4

$- 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 - 4 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

단계 5.2.3.5

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ - 3 & - 3 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

단계 5.2.3.6

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ - 3 & - 3 & 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

단계 5.2.3.7

$- 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ - 3 & - 3 & 0 \\ - 3 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

단계 5.2.3.8

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ - 3 & - 3 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 - 4 \end{array}]$

단계 5.2.3.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ - 3 & - 3 & 0 \\ - 3 & 0 & - 3 \end{array}]$

단계 5.3

Find the null space when $λ = 4$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 3 & - 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 \\ - 3 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.1.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & 3 & 0 \\ - 3 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & 3 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.2.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.3.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

단계 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ z \\ z \end{array}]$

단계 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

단계 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

단계 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

단계 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$